流体力学公式识别：N-S方程里的物质导数与粗体校对

流体力学公式识别要重点校对三样东西：物质导数的大写 D/Dt 有没有被认成小写 d/dt，速度场 u 的粗体有没有丢，梯度算子 ∇ 和它后面的点乘、拉普拉斯 ∇² 是不是完整。这三处出错，预览里依旧是一条像模像样的方程，意思却从「随流体微团的变化」「矢量场」变成了普通导数和标量。不可压缩 N-S 方程和连续性方程是最常见的两条，下文以它们为例。

适用场景与准备

流体力学、空气动力学、传热课的讲义和教材里，方程大多是矢量形式，粗体、算子和偏导符号挤在一行。整理笔记、写课程报告、把教材例题录进作业，都要把这些方程变成可编辑的公式。

截图时有两个要求。一是放大到粗体和细体能分出来再截：粗体 u 和普通 u 在小字号下只差笔画粗细，糊了识别就分不出。二是只框一条方程，章节编号和右侧的方程号留在框外。图片识别支持 PNG、JPG、BMP、WEBP、GIF，单张不超过 20MB（上传前会压到 10MB 以内），一次一张，格式与大小以上传区下方提示为准，需要登录并开通本站会员。

先看物质导数的定义，它是后面 N-S 方程左边那一组的来源：

\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla

操作步骤：识别后切到源码

1. 公式编辑页点「识别」→「图片识别」，在弹窗里粘贴截图，识别直接开始；点选或拖入的图片要再点「开始识别」。
2. 识别后先出结果卡片，点「插入」公式才插到编辑区光标处，再把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」看源码。
3. 按下面三项逐个对照原图，改完点「可视化」切回再导出。

不可压缩流体的 N-S 方程，校对后应当是这样：

\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{f}

校对三处：D/Dt、粗体、算子

一、大写 D 与偏导 ∂。 物质导数是大写 D，源码 \frac{D}{Dt}；局部变化率是偏导，源码 \partial。容易出的错是把 D 认成小写 d，或把 ∂ 认成 d、δ。一条方程里 D、d、∂ 三种可能同时出现，逐个数清楚。

二、矢量的粗体。 速度 u 和体积力 f 是矢量，压强 p、密度 ρ、黏度 μ 是标量。源码里矢量应当是 \mathbf{u}、\mathbf{f}，排出来是直立的粗体。识别结果丢了粗体，u 就成了标量，读的人会以为这是一维方程。有的教材把矢量印成粗斜体，对应的命令是 \boldsymbol{u}，本站编辑器里能输入，预览显示为粗斜体；同一份材料里只用一种写法。

三、∇ 的三种用法。 ∇p 是梯度，u·∇ 是对流算子，∇²u 是拉普拉斯。点乘要写 \cdot，被识别成字母 x 或直接丢掉，(u·∇)u 就变了意思；∇² 的上标 2 丢了，黏性项就只剩一个梯度。

按下表五处逐项核，下面的对照图左边是这几类错叠在一起时识别结果可能的样子（示意），右边是改好的写法。

做完之后怎么核对

再配一条连续性方程一起校对，不可压缩时它是 ∇·u = 0。拿一个简单的平面流动代进去，速度 u = (u, v) = (x, −y)：∂u/∂x + ∂v/∂y = 1 − 1 = 0，满足连续性；它的对流加速度 (u·∇)u = (x, y)。算完再对照预览看 u 是否粗体、u 与 ∇ 之间是否有点。

原图糊、粗细分不清的，先看低清扫描公式识别；识别前想确认账号状态，看公式识别登录限制。

写课程报告时，方程组通常还有能量方程；它同样带 D/Dt 和 ∇²，识别后照这三项再过一遍，比一条条对着原图找错快得多。

延伸阅读

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