竞赛题录入：数学长公式识别与校对

竞赛题录入的难点有两个：公式长，记号特殊。长公式在等号、不等号处断开，分段截图识别，再在 LaTeX 模式里拼回一条；记号方面，取整、同余、循环求和、组合数这几类是竞赛题特有的，识别后要逐个按组里约定的写法校对。图片识别要登录并开通本站会员；录入的题目用于备课或讲义，记号写法以所用教材或讲义的约定为准。

结论先行：先分段，再对记号

• 分段。 一行放不下、或者分式套着求和的长公式，按关系符号切成两三段，每段一张图。切口选在 =、≤、≥ 前面，不要切在分式或括号中间。能完整截进一张、字也看得清的公式，照样一次识别；截成一张后字太小、识别漏项，才需要分段。
• 拼回。 识别结果卡片上点「插入」后，公式插在编辑区光标处，所以按原顺序一段段识别，每段之间把光标放到末尾、补上关系符号，最后在「LaTeX」模式里核对整条。
• 对记号。 拼好后专查四类竞赛记号：取整、同余、循环求和、组合数。它们在不同讲义里写法不一，识别出来的是原图上的写法，要按你们的约定统一。
• 补条件。 「a、b、c 为正实数」「n 为正整数」这类前提要一起录，漏了条件，不等式本身可能不成立。

一道题录完，从头到尾看一遍渲染结果，再和原题逐项对照。整套题开录前，先把下面这页记号约定定下来。

速查：四类竞赛记号的写法

下面这页列出四类记号的常见写法。国内竞赛书里常用 [x] 表示不超过 x 的最大整数，与 ⌊x⌋ 同义；讲义里用哪种，全套题统一即可。

几条要点：同余式写 \pmod{11}，排出来是带括号的 (mod 11)；\bmod 用于「a mod b」这种运算写法，两者别混。循环求和的下标写 \sum_{\text{cyc}}，cyc 要放进 \text{}，否则会排成三个斜体字母。组合数若讲义用 C 加上下标的写法，也要全套统一，别一题一种。

例题示范：一条三项的长不等式

题目给出：x₁、x₂、x₃ 为实数，y₁、y₂、y₃ 为正数，证明下面的不等式。这是柯西不等式的一种常见变形，三项展开后一行很长：

1. 分段截图。 在 ≥ 前面断开：左段是三个分式之和，右段是那个大分式。取值条件那一行单独截一张。
2. 识别左段。 在本站公式编辑页点工具面板「识别」→「图片识别」，截图在「图片公式识别」弹窗开着时按 Ctrl+V（Mac 上 ⌘V）粘贴，识别直接开始，结果卡片上点「插入」即插在光标处。
3. 补符号、接右段。 把光标移到左段末尾，敲 \ge 再按空格得到 ≥，接着识别右段。切到「LaTeX」看整条源码，核对改好后应当与下面这条一致（这是按原题写出的标准写法，不是某次识别的原样输出）：

\frac{x_1^{2}}{y_1}+\frac{x_2^{2}}{y_2}+\frac{x_3^{2}}{y_3}\ge\frac{(x_1+x_2+x_3)^{2}}{y_1+y_2+y_3}

4. 逐项核对。 左段三个分子的平方都在 x 上，下标 1、2、3 没有错位；右段平方在括号外，分母三项齐全。
5. 代数验证。 取 x = (1, 2, 3)、y = (1, 1, 2)：左边 1 + 4 + 4.5 = 9.5，右边 36 ÷ 4 = 9，左边大于右边，录入的式子方向没错。

同一道题的求和写法可以写成更短的一行，放在讲义的「一般形式」里：

\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k^{2}}{y_k}\ge\frac{\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)^{2}}{\sum_{k=1}^{n}y_k}

核对时看三个求和号的上下限是否都是 k = 1 到 n。

常见错误

1. 切在分式中间。 截图把分子分母切开，两段各自识别都不完整，拼不回去。
2. 接缝漏符号或错位。 忘了补 ≥，或者识别右段前光标不在末尾，右段插进了左段中间。
3. 取整符号混用。 同一套题里前面用 [x]、后面用 ⌊x⌋，学生会以为是两个概念。比如恒等式 ⌊x⌋ + ⌊x + 1/2⌋ = ⌊2x⌋，整题要用同一种括号。
4. 同余漏括号。 2¹⁰ ≡ 1 (mod 11) 写成 \bmod，排出来没有括号，读起来像运算。

题目里若有手写的解答要一并录，多行推导分段检查的做法见手写公式录入；扫描的旧竞赛题模糊时，先参照低清扫描公式识别处理。

手头那套讲义，先挑最长的一道不等式，按关系符号切成两段识别、拼回，再对照上面四类记号统一写法，把这道题当作全套的写法样板。

延伸阅读

• 手写公式录入：多行推导如何分段检查
• 低清扫描公式识别：模糊页面怎么补救
• 在线公式识别额度：一整套题录入前先看哪些边界